E lucevan le stelle

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[科普文]从福尔摩斯到衍射现象

题外话：福尔摩斯和衍射，可谓是风马牛不相及。不过这题材的选取并没有什么深意，因为这只是一次和龙哥的小活动，用同样的开头和结尾各写一篇科普文。头是我提出的，尾则是龙哥。
龙哥的文章是：从福尔摩斯到衍射：现代科技拾贝


一  福尔摩斯的一滴水                                                   

    虽然只是一滴水，从大名鼎鼎的福尔摩斯口中说出，也特别不同凡响。『一个逻辑学家不需亲眼见到或者听说过大西洋或尼亚加拉瀑布，他能从一滴水上推测出它有可能存在。』^[1]看小说的时候顾然不需理会到底怎么进行推测，看着爽、貌似有道理就行。我们钻一下牛角尖，看看一滴水能给我们带来多少信息。初初看来，可以得知这滴水的温度、体积、质量、表面张力系数、颜色，嗯……形状？免谈。味道？好吧……反正就一滴。在假定我们有足够的技术的前提下，我们可以准确测定它的成分，有哪些杂质：离子、矿物质、微生物、气体分子。甚至再数清楚每种成分的分子有多少个，顺便记录下某一瞬间所有分子的位置和运动方向。但是不能再往前走了，你总不能从中拿出一颗水分子说，我上个月在尼亚加拉瀑布见过你。不，所有分子都只具有很有限的特征，像动能、势能、转动能、振动能、磁矩什么的。除此以外，所有分子彼此之间毫无区别，这正是热力学可以放心进行统计学研究的基础。
    在这个假设下（真的！物理学从来就只讲假设），对于这滴水里的某个水分子，可以在全球10^46个水分子^[2]中，找到好大一群兄弟姐妹。这滴水的独特性就这么遭到了彻底的打击。确实，在微观世界里大家都长得好象哦～
    但是，这个假设还是遭到了轻微的破坏，我们有时可以分开两个曾经以为是一模一样的微观粒子了，这次是量子力学搞的破坏。量子力学说的是，世界上的物质其实都是一种波，所遵循的运动规律并不是我们以前想的那么简单。尺度越小，和我们曾经的想法偏差越远。现在微观世界的图景已经不是以前认为的，若干刚体小球的相互作用了，而是不同粒子对应的波函数在相互影响。实际情况很复杂，我们暂且从中抽离出一个概念：量子纠缠。这是目前量子物理领域研究的一个核心问题，目的是简化描述若干波函数之间相互作用的结果。那么然后呢？每个微观粒子所带有的信息量就有所增加了，而且常常是通过与其他粒子间的关系呈现出来的，每个粒子自身也可以同时处于几种状态的“叠加状态”之中。（“自从纠缠了之后啊，一口气上五楼，不费劲儿！”）这么之后啊，人们就开始试图做量子计算机了。（“啥？还用有电荷/没电荷来储存信息？out了，我正忙着找上次跟我纠缠的那颗电子呢……”）其实也不仅仅是信息量的问题，量子纠缠这东西还可以一堆人一起搞。和普通电脑比较起来，就像1+1+1+1+1要一个一个加起来和大家全加在一起的区别。
    不过做量子计算机有一件不爽的事，就是才那么几颗粒子，太容易受外界环境影响了，一不小心给别人撞了一下，那纠缠的状态就变了，所以量子纠缠研究都在低温凝聚态当中进行，做好对当事人的保护工作。但凡事有例外，早在1997年，加州理工学院的Alexei Kitaev教授最早提出了拓扑量子计算的可能性。它由于极强的容错性迅速受到众人关注。在这里，我们遇到了拓扑数学上的纽结理论。


二  扭成一团的计算机                                                    

    拓扑量子计算的本质在于，把若干微观粒子的世界线互相缠绕成结。直观一点，我们让奥班58位同学站在操场上，因为要为跳大绳比赛做准备。没有老师督促，有的人很认真去跳，有的人到处闲逛，有的人绕着女生打转转。某个时刻，有人叫“kinker你又老是绕着LXY转~”，kinker说没有啊，你看我离两个LXY各两米。只听发话的人冷笑两声，道“你看你手里拿的那条长绳绕两个LXY转了多少圈，自身交叉了多少次……”在宏观世界里，kinker要不是多手，拿了那条长绳，还真不知道他曾经走过的轨迹（这也就是kinker的世界线在空间中的投影了）；但如果kinker是“任意子”（anyon）中的一员，他也就在劫难逃了，因为任意子的世界线之间的缠绕关系是掩藏在它们的波函数里的。
    这“任意子”的来由，得从玻色子和费米子讲起。在空间的同一个位置，我们可以同时放置无穷多个玻色子，譬如说光子；反之，即使仅仅两个费米子也不能同时占据同一个位置，譬如说质子。当然它们实际上的区别要比以上这个例子深刻而奇妙的多，比如以下这个例子。如果我们使用一个波函数来描述两个费米子。某一时刻他们在A、B两个位置，然后他们交换了位置，其间这个波函数变成了原先的函数乘上(-1)。但如果我们考虑的是两个玻色子，换了位置之后波函数没任何变化。若是我们在二维平面中考虑问题，严格的数学推导给了我们第三种选择：两个“任意子”交换位置，波函数将变成原先的函数乘上一个模为一的复数。哦，其实这里有无穷种选择。只不过，无论波函数怎么变，只要模不变（是的，波函数值域是复数），都不会产生任何立即可见的效果。那么有什么“延迟起效”的效果呢？如果你看到两个一样的任意子，第二次见面的时候居然相撞湮灭了，你就可以猜测，可能是他们和其他任意子转了几圈，导致两者波函数相差一个(-1)的结果。^[3]值得指出的是，满足“非阿贝尔统计”的非阿贝尔任意子才可以用于拓扑量子计算，但是阿贝尔任意子倒是可以用于构造拓扑量子储存器。^[4]
    然而在现实中哪里找“二维平面”呢？物理学家告诉我们，半导体NP结中的电子一般只能沿着接触界面移动，很难垂直界面移动。当处于强磁场、极低温环境下，这层“面”上的电子会集体移动，形成“分数量子霍尔液体”。其中的“波动”（元激发态）可以模型化为分数电荷和若干磁通量组成的复合粒子。2005年，纽约州立大学石溪分校的研究员就声称实验证明了这就是我们找的“非阿贝尔任意子”的其中一种。
    这种量子计算机确实够稳定，平时让那几个任意子离得远远的，要操作的时候交换个位置就完事了。一番操作之后，看看两个任意子融合起来是变成另一种任意子了，还是湮灭消失了，也就可以猜出末状态的波函数了。^[5]嗯……那和纽结理论有啥关系？
    纽结理论的内容非常庞大，但是中心问题是判定两个纽结是否拓扑等价。这里的“结”指的是一根绳子绕来绕去，最后头尾相接形成的拓扑结构，也可以是几根绳子互相缠绕形成。判别等价性，就是问能不能在不剪断的条件下，从一个扭结变形成另一个。初看起来，这问题很simple，那就是你太naive了。比如下面这个结九曲十三回，怎么能想象居然和一个单纯的绳圈等价呢？不信可以看看视频。

    另一方面，任意子在平面中运动，我们让这平面朝着某个方向扫过三维空间，那么任意子运动过的轨迹就形成了一段段“绳子”。然而拓扑量子计算的准备工作就是用能量从虚无中产生出若干正反粒子对，收尾工作就是让他们互相融合观察现象，那么这一段段“绳子”就相互连接起来，成为若干个扭结了。纽结理论可以清楚地告诉我们，刚才我们的实验操作会产生怎样的结果。好吧，有人怒了，“那我们还干嘛要做拓扑量子计算呢？”问题是，理论归理论，实际运用起来，那计算量不是一般的大，反倒是进行任意子操作省事。反之，明确地进行若干次任意子操作之后，根据末状态，加一些不大的计算，我们可以巧妙地把实验结果解释成一个大数分解，譬如说180708208868740480595516561644059055662781
02516769401349170127021450056662540244048387341127590812303371781887
966563182013214880557的质因数分解。^[6]平时一些看起来计算量奇大的任务，在拓扑量子计算眼中，也只是小菜一碟。很神奇，这就是数学的力量。


三  扭动的DNA和RNA                                              

    研究纽结等价，主要工具是各种结不变量，比如纽结群、各种结多项式，以及各种双曲不变量等。每种结都有一些特征量，只可惜还没找到一个可以完全分辨开不同纽结的特征量。这点表过不提，但我们将会看到纽结理论的另一个应用：DNA中的纽结。
    你心中的DNA是怎样的？双螺旋结构向上向下几乎无限延伸？outdate了，DNA就是一种高分子，你在自然界哪里找得到这么整洁的高分子？相互缠绕，双链中间断开一段（以便转录），错误的重新接合（同链DNA接合、形成发夹结构等等），这都是常见现象。哪里找纽结呢？在一些细胞器如线粒体和叶绿体中，人们找到了环状的DNA。根据纽结理论，人们可以判定正在观察的DNA纽结是不是曾经见过的另一个结，还可以通过研究某个DNA纽结的一些特征量，来判断它曾经与其他低分子化合物进行了多少次相互作用，或者是计算出需要多少次预期的嵌入方式或沟面方式的相互作用，才可以使一段DNA变换成某个特定构形，或者使DNA发生扭结从而粘度减少。^[7][8]
    作为主要遗传物质，DNA的每一个举动都影响着它的转录和翻译，有不同纽结的DNA自然也影响着转录效率。不过转录出来的前体信使RNA（pre-mRNA）和最终被翻译的成熟mRNA也还是有着区别，因为有各种貌似没用的内含子。所谓内含子，是相对于外显子而言的，非编码的DNA片断。两者从DNA上被转录成RNA之后，内含子被剪除，才交给核糖体进行翻译、指导组成蛋白质。然而有的内含子可以自己把自己剪掉，有的则需要剪接体的帮助。既然内含子总会被剪掉，那是不是完全没用呢？不是的，可以自剪接的内含子可以凭借自己的力量离开原先栖身的那一长串RNA，然后它改名换姓叫“核酶”（或“核糖酶”，异于“核酸酶”  @_@），转过身，“桀桀”笑着对自己本家开刀了……这一举动又有了第二级的后果，在RNA上原先的内含子获得了变成外显子的机会。这是为何？原来剪接体要剪人的时候，要辨认内含子有特征的开端和结尾。辨认出来之后就把那段内含子剪掉，前后两个自由端重新接起来。给核酶这么一搞，特征开端和结尾的位置就乱了，某些内含子也就避过一劫，成功给翻译了出来。正因为如此，各种生物才可以用如此少的基因，翻译表达出如此千变万化的蛋白质。^[9]
    RNA的自剪接现象可以扭转内含子和外显子的身份，可以把一段基因的阅读顺序“反转”过来，甚至还可以把两段RNA分别从某处剪开然后接起来，其灵活的程度令人咋舌。同样令人咋舌的是，尽职尽责的剪接体本身，其实也是由RNA和蛋白质组成的；翻译表达mRNA，最应该被好好犒赏一番的也是tRNA和rRNA。在那个圈子里，可以说是RNA的天下。
    读到这里，你有没有想起另一个类似的事物呢？自我修改的，千变万化的，既是执行者也是被执行者。不同的人想必有不同的答案。


四  “我们是完全的”                                                  

    我的答案是汇编语言。不过汇编语言还不够基本，说是机器语言语言好了，也就是由0和1组成的字串。给我一个处理器，一些寄存器，一段有0、1字串的内存，一个程序就可以跑起来。有的人已经被吓倒了，请直接跳过这一章。没被吓到的话，我再把它抽象化些：给我一份字母表，一小片草稿纸，一条无限长的纸带，纸上印有一些字母。最后给我一份规则，一个开头，那么一个程序就可以跑起来了。这是怎么样的一个程序？这是一个图灵机。
    数学家艾伦·图灵于1936年提出了图灵机的模型，比上述更为抽象，但本质并无不同。那份规则只需告诉我，当我草稿纸上写着x，目前我笔尖指着纸带上的y（或者特殊符“空白”）时，就要把x改成f(x,y)，把y改成g(x,y)，并把注意力（笔尖）左移或右移；而对于某些特殊的(x,y)，你要说“报告老师，题目错了”或者“老师，我做完了”。那么根据规则，图灵机就可以自动完成“直觉上可以完成的任务”。
    一架图灵机的能力大小几乎完全取决于规则的质量，而不是字母表的大小。因而并非所有图灵机都同等强大。然而有一类图灵机具有模拟其他图灵机的能力，其他图灵机能做的事，只需修改一下纸带上的初始内容，它也可以完成。这就是通用图灵机（UTM, Universal Turing Machine）。事实上，通用图灵机的能力是如此强大，我们常用它来衡量其他计算模型，可以完成同样任务的计算模型被加以“图灵完全”的美誉。
    那么最小的通用图灵机是怎样的呢？如果草稿纸上只允许写0、1两个数字，字母表只有a、b两个字母，我们还能找到一套规则使它成为通用图灵机（一个2,2 UTM）吗？是不行的。然而在2002年，Stephen Wolfram发现了一个2,5 UTM，还提出了个很可能是2,3 UTM的规则。2007年的10月，英国大学生Alex Smith一篇55页的论文对此作出了最终证明。^[10][11]对最小通用图灵机的寻找终于落下帷幕。如果用红、黄、白三种颜色表示字母，用朝上、朝下的箭头表示当前笔尖位置和草稿纸上的内容，那么这个2,3 UTM的规则是这样子的：（第一行是目前状态，第二行是应采取的动作）

    运行起来是这样子的：（从上往下看，初始状态为空白）

    被誉为计算机之父的图灵还致力于人工智能的研究工作，譬如著名的图灵测试就是他所提出的。图灵测试和图灵机一样，都是对人类思维能力的一种抽象化、规则化产物，以人类自身为标准。『如果一个人随意地向两个他看不见的对象问问题：一个是正常思维的人；一个是机器。如果他最终不能得出实质性的区分，那么这机器就通过了图灵测试。』话说回来，图灵测试常常并不可靠，如果一个西班牙人来问你问题，想必你比一台机器好不了多少。撇去语言障碍不说，也还有文化差异和习惯差异。图灵测试更加不能用于对非人工智能的检验，天马行空一些，这对外星人肯定无效。
    不过幸运的是，我们和地外智慧生命（“啥？不就一外星疙瘩！”）相信也有共同语言：数学。因而寻找地外智慧生命的努力一直没有停息，首先有火星、金星的探索，然后有伽利略号，先驱者10号和11号，奥兹玛计划，于是就有了SETI@home项目。


五  积沙成塔，集腋成裘                                            

    SETI@home, the Search for ExtraTerrastrial Intelligence at Home，在家进行地外文明搜索。如此令人激动的字眼，如此辉煌灿烂的图景，怎能不让人大书特书一番？SETI@home的原理很简单：首先由位于波多黎各的阿雷西博射电望远镜记录无线电讯号，然后由加利福利亚大学伯克利分校把讯号分成一个个任务单元（work unit），并通过互联网向所有参与项目的普通人家发放任务包，电脑中的程序利用电脑空闲时间进行讯号分析，并替你管理好上传、下载等琐事，最后分析结果再次集中汇总。
    怎样和外星人取得联系？怎样互相理解？首先我们需要一些全宇宙通用的、具有基础意义的东西，比如说数学和物理。二进制是最最基础的，其次我们可以建立起加减乘除的基本概念，逻辑关系、变量和大小关系等概念，还有素数的概念——只要对方对离散数学稍微有点兴趣，素数绝对是重中之重。物理呢？我们始终相信牛顿三定律是全宇宙普适的——至少是一个极其美妙的近似。能互相交流的双方难道还猜不到对方对量子力学或相对论已经有所认识了么？再下一步——或许应当是第一步——我们要show show一些常数的值，就像说“嘿！你知道这个数么？”双方摸一下底。哪些常数呢？π、e、γ那是少不了的，物理方面得找一些无量纲数，比如精细结构常数等等。
    双方要进行无线电交流了，那么又来一个难题：该用那个频带呢？SETI的科学家们使用了1420MHz——氢原子的发射频率。氢元素是宇宙间丰度最高的元素，也是所有壮年恒星赖以发光发热的燃料。希望远方的那位也是同样的想法吧……其次，当我们收到了无线电记录，我们应该怎么确认是智慧生命发出的讯号呢？在茫茫的宇宙背景辐射、大气层噪声、银河系无线电讯号等无线电杂讯之中，我们首先看看有没有脉冲（讯号强度迅速变化）、尖峰（邻近几个频率出现密集讯号）、高斯讯号（高斯曲线式迅速攀升或者迅速下降），其次才是搜寻人工的痕迹，比如三连波讯号。同时还要处理多普勒偏移、星际介质等情况，对每一组数据的处理都必须一丝不苟。要完成如此庞大的数据处理量，需要一台难以想象的超级计算机。幸亏有了分布式计算，现在全世界志愿者的电脑联合在一起，一起致力于同一个事业，用满腔热情撑起了SETI@home这个标志着一个时代的“平民科研项目”，平凡而又影响巨大。
    我们欢迎热情洋溢的志愿者，当然也不排斥任何稍有意向的个人电脑拥有者，因为我们需要的仅仅是电脑闲置时候的计算资源。积沙成塔，集腋成裘，任何个人的参与都必定有所贡献。正是如此，分布式计算才有它存在的意义。
    加入分布式计算的大家庭，还有很多不同的项目可以选择参与。Einstein@home是一个寻找引力波存在证据的项目，数据来自路易斯安那州的LIGO（Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory，激光干涉引力波天文台）：远方的大质量恒星或者黑洞之间发生剧烈相互作用的时候，根据相对论的预言，将会产生剧烈的引力波，并以光速向外传播；超新星爆发、脉冲星旋转过程中稍微的不对称也会产生类似的引力波，从中我们可以窥见这种大尺度剧烈作用的细节。如果把引力波比作声波，Einstein@home项目将令人“聆听到来自宇宙深处的旋律”。另一个物理类项目LHC@home则让你的电脑模拟粒子在LHC（大型强子对撞机）中的运动，从而优化机器各项参数。FightAIDS@home则是模拟HIV受体对不同分子的反应，寻找最佳对抗药物。Folding@home也是通过模拟的手段来研究蛋白质折叠、聚合产生的影响。另外还有若干数学类项目如GIMPS搜索梅森素数的项目，SOB寻找最小谢尔宾斯基数，ABC@home研究ABC猜想的项目。还有预测气候变化的CPDN，研究网络拓扑结构的DIMES，等等等等。


六  （漫谈）波涛汹涌                                           

    刚才谈到Einstein@home的数据来源LIGO和德国的GEO 600，话说这LIGO也确实有想法。根据相对论的预测，引力波的波长极大，随手拈来都可以达到地球直径的尺度。不过幸亏，来自于脉冲双星或者黑洞的引力波足够强大，而且波长也终于达到几千公里的数量级^[12]，LIGO才有用武之地。引力波者，时空之涟漪也，无须摆个大质量物体在此，激光几束足矣。LIGO摆成L字形，同一束激光在L的拐角处分开两束，各自在长4公里的两臂来回反射，若干回后重新汇聚产生干涉图纹。因而当引力波扫过时，激光光程受弯曲的时空影响而改变，最终结果是干涉条纹发生移动。这正是：两波相遇，一波降一波。
    说起来，确立光的玻粒二象性的那段历程，那叫一个曲折。17世纪中后期，惠更斯作为一代代表人物，从光反射和折射入手，明确表示光是一种波动现象；而在18世纪初，牛顿主要根据光的直线传播性质，认为光是一种微粒；光的波动说的复兴起于19世纪初，主要由汤姆斯·杨的著名干涉双缝带起，20年后菲涅尔做了杰出地实验和理论研究。这时泊松站出来说，我算过了，光如果衍射居然可以绕过一个实心圆盘，在影子中间形成光斑，疯子！结果阿拉果的一个实验证明了大自然果然是疯子。到了19世纪中期，牛人麦克斯韦熟练运用数学工具做出来的电磁理论浑然天成，揭示了光的电磁波本质；19世纪末的光电效应再次撩起迷雾，才不到20年爱因斯坦的光量子就对此作出了解释；不久之后德布罗意说电子也是一种波，众人不解，直到电子的晶体衍射图像一出来，都没话说了。波的衍射已经两次扮演“一锤定音”的角色了。^[13]
    然而在日常生活中，衍射现象也不是稀客。CD和DVD的表面常常充当衍射光栅，把自然光衍射得五彩缤纷。其实只要动点脑筋，用一张CD和一个纸盒，我们可以动手自制一个光谱仪，技巧就是不让所有方向的光都过来被衍射，而使用一条狭缝限制入光的方向。详情见此。全息图象的重现靠的也是一层衍射光栅。可能不太多人知道，其实日华和月华也是衍射现象，是阳光（或月光）被薄云中的小水滴衍射的结果。归根究底，最常见的其实还是声音的衍射——半掩着门还能听得很清楚的原因，无线电波中地波的衍射——可以绕过崇山峻岭到达远方的原因，以及是水波的衍射——海啸可以轻松绕过无数小岛的原因。
    从印尼海啸巨浪中的一滴水，福尔摩斯先生能够推测出太平洋的存在吗？



References:                                                     
1. http://tieba.baidu.com/f?kz=214403901
2. http://zhidao.baidu.com/question/50591250.html  1.36×10^18×10^6÷18×6.02×10^23
3. http://sa.ylib.com/read/readshow.asp?FDocNo=850&CL=19
4. http://zimp.zju.edu.cn/~xinwan/index_cn.html
5. http://online.kitp.ucsb.edu/online/exotic_c04/preskill/
6. http://online.kitp.ucsb.edu/online/exotic_c04/preskill/oh/11.html
7. http://www.shuxueweb.com/2006/zlkf/HTML/480.html
8. http://www.gotoread.com/vo/3388/page355012.html
9. http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B8%E9%85%B6
10.http://www.matrix67.com/blog/archives/334
11.http://www.wolframscience.com/prizes/tm23/
12.http://ttstory.5.forumer.com/a/_post1531.html
13.http://www.oioj.net/blog/user1/7937/archives/2005/45168.shtml

More:                                                              
1. http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_quantum_computer
2. http://www.oursci.org/magazine/200204/020423.htm
3. http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BE%E7%81%B5%E6%9C%BA
4. http://www.wolframscience.com/prizes/tm23/gallery/
5. http://www.equn.com
6. http://www.cs.cmu.edu/~zhuxj/astro/cn/html/spectrometer.html